La glorieuse incertitude du sport est telle que vos pronostics, fûssent-ils basés sur une longue expérience de la discipline en question, peuvent parfois s’écrouler, ainsi que votre mise.

Dans un certain nombre de cas, il est pourtant possible de consolider sa mise en investissant sur plusieurs combinaisons de sorte à être certain d’obtenir un gain fixe. À l’instar de la diversification de portefeuille en finance, qui permet de réduire le risque, il y a moyen de s’assurer d’un rendement garanti aux pronostics.

Démonstration théorique

Pour un pari sportif typique, par exemple un match de foot, il y a 3 résultats possibles :

• [1] L’équipe-hôte (équipe 1) remporte le match
• [X] Match nul
• [2] L’équipe visiteuse (équipe 2) remporte le match

Chacune de ces possibilités est assortie d’une cotation, que nous appelerons respectivement a1, a2 et a3.

En somme, si vous misez 10 euros sur l’option 1, en cas de succès vous remporterez 10 fois a1, sinon vous perdez le total de votre mise.

Quels montant devriez-vous miser sur les 2 autres options pour que les gains remportés par la combinaison gagnante dépasse la perte de votre mise sur les options, et ce dans tous les cas de figure possibles ?

Suppression du risque

Vous investissez une somme S, répartie en 3 tranches: X sur l’option 1, Y sur l’option 2 et Z sur l’option 3. On a bien S = X + Y + Z.

En cas de succès de l’équipe 1, votre gain net est égal à a1 X – Y – Z, puisque vous perdez d’office les mises sur les autres options. En cas de match nul, votre gain est a2 Y – X – Z et en cas de victoire de l’équipe 2 vous gagnez a3 Z – X – Y.

Notre premier objectif est de supprimer la variation du gain.  Cela consiste à équilibrer les trois équations ci-dessous.  On remarque ainsi les deux propriétés suivantes :

• Équilibre des équations 1 et 2, quel que soit le montant Z investi : X = (a2 + 1) Y / (a1 + 1)
• Équilibre des équations 2 et 3, quel que soit le montant X investi : Y = (a3 + 1) Z / (a2 + 1)
• Équilibre des équations 1 et 3, quel que soit le montant Y investi : Z = (a1 + 1) X / (a3 + 1)

On remarque ainsi le premier effet contre-intuitif : plus une cotation est élevée, moins il faut investir dessus (a2 est au dénominateur dans l’équation de Y). Ceci explique notamment pourquoi les parieurs non-initiés à ces techniques mathématiques se font avoir et perdent des sommes importantes, qui font la richesse des bookmakers.

À partir du montant total que nous voulons investir, il nous reste à déterminer X. Ceci est aisé, en sachant de S = X + Y + Z. Nous avons ainsi:

X = (a2 + a3 + a2 a3 + 1) S / (2 a1 + 2 a2 + 2 a3 + a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 + 3)
Y = (a1 + a3 + a1 a3 + 1) S / (2 a1 + 2 a2 + 2 a3 + a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 + 3)
Z = (a1 + a2 + a1 a2 + 1) S / (2 a1 + 2 a2 + 2 a3 + a1 a2 + a1 a3 + a3 a3 + 3)

Détermination du gain enregistré et seuil de rentabilité

Quand l’équipe 1 gagne, vous recevez a1 X mais ne récupérez rien sur vos autres mises, que sont Y et Z. Nous divisons le tout par l’ensemble de la somme investie (X + Y + Z) pour calculer le rendement (r). En substituant, nous avons dès lors :

r = (a1 a2 a3 – a1 – a2 – a3 – 2) / (2 a1 + 2 a2 + 2 a3 + a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 + 3)

Etant donné que les cotations a1, a2 et a3 sont toujours positives, le dénominateur est toujours positif lui aussi. On en déduit que c’est le signe du numérateur qui déterminera si oui ou non le rendement sera positif, c.-à-d. à la condition que :

a1 a2 a3 – (a1 + a2 + a3) > 2

Ainsi, pour voir si le pari est intéressant, il suffit de multiplier les 3 cotations entre elles et d’y soustraire la somme des 3 chiffres, puis de voir si le résultat est supérieur à 2.

Exemples chiffrés

Soit les cotations suivantes: a1 = 1,40, a2 = 4,00 et a3 = 7,25

Le rendement est positif et la somme doit être répartie comme suit : 56,5 % de la somme sur X, 27,1 % sur Y et 16,4 % sur 2 et dans tous les cas on obtiendra un rendement de 35,5 %

Soit les cotations suivantes: a1 = 1,20, a2 = 2,00 et a3 = 3,20

Dans ce cas, la répartition optimale est de 44.3 % sur X, 32,5 % sur Y et 23,2 % sur Z. Cependant, le rendement ainsi obtenu est de -2.5 %, qui est inférieur à zéro. Ceci signifie qu’il n’est pas possible de gagner à coup sûr : dans ce cas il est préférable de miser sur une ou deux options seulement (ce qui signifie un risque), voire de s’abstenir totalement, à l’aune de cette précieuse information sur le rendement attendu.

Conclusion

À partir de ces quelques règles faciles à mettre en pratique, vous pourrez voir par vous-même si les cotations données par le bookmaker vous permettent d’obtenir un gain garanti. Rien ne vous empêche par ailleurs, au départ des valeurs de l’équilibre, de donner une légère préférence à une option particulière, selon votre instinct, pour augmenter votre gain.

Bon amusement et maintenant, place au jeu !

Addendum

Il va de soi que cette démonstration est un attrape-nigauds : le gain net de l’option 1 n’est pas a1 X – Y – Z mais bien a1 X – X – Y – Z, puisqu’il faut également payer la mise gagnante. Les quantités deviennent dès lors:

X = a2 a3 / (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3)
Y = a1 a3 / (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3)
Z = a1 a2 / (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3)
r = (a1 a2 a3 – a1 a2 – a1 a3 – a2 a3) / (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3)

À ma connaissance, aucun bookmaker n’est assez idiot pour donner des cotations qui permettent d’obtenir r > 0.
Comme au casino, la banque gagne toujours.